Operasi Hitung Kelipatan dan Faktor dan Contoh Soal

Dalam topik ini kalian akan belajar tentang kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Mari kita perhatikan permasalahan berikut ini sebelum masuk ke materi pokok.

Andi, Beny, dan Sony adalah atlit renang dari Quipper School. Andi berlatih berenang setiap 3 hari sekali. Beny berlatih berenang setiap 4 hari sekali. Sedangkan Sony setiap 2 hari sekali.

Jika pada hari ini, tanggal 4 Oktober 2014 mereka latihan berenang bersama-sama, maka kapan lagi mereka akan berenang bersama lagi?

Jika tanggal 31 Oktober 2014 mereka akan mengikuti kejuaran nasional, berapa kali mereka akan latihan berenang bersama sebelum kejuaraan?

Penyelesaian :

Permasalahan di atas bisa diselesaikan dengan cara mendata waktu berlatih.

1. Andi berlatih pada hari ke-3,6,9,12,15,18,21,24,27,...
2. Beny berlatih pada hari ke-4,8,12,16,20,24,28,...
3. Sony berlatih pada hari ke-2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,...

Jelas bahwa mereka akan berlatih bersama pada hari ke-12 dan hari ke-24.

Jika hari mereka berlatih bersama tanggal 4 Oktober 2014, maka 12 hari kemudian adalah 16 Oktober 2014 dan 24 hari kemudian tanggal 28 Oktober 2014.

Jadi, mereka akan berenang bersama lagi 2 kali sebelum hari kejuaran.

Perhatikan bahwa setiap kelipatan 12 mereka akan berlatih berenang bersama. Konsep ini dinamakan kelipatan persekutuan. Selanjutnya, kelipatan persekutuan yang terkecil disebutKPK .

Kelipatan Bilangan dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali bilangan yang ditentukan dengan bilangan asli. Sebagai contoh, kelipatan dari 6 adalah 6, 12, 18, 24, ..... dan seterusnya.

Hasil ini diperoleh dari fakta perhitungan berikut :

6 X 1 = 6
6 X 2 = 12
6 X 3 = 18
.
.
.

Contoh 1 :

Buatlah data kelipatan dari 4 dan 9

Penyelesaian

Kelipatan dari 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Kelipatan dari 9 adalah 9, 18, 27, 36,...

Kelipatan Persekutuan dari beberapa bilangan adalah bilangan kelipatan dari bilangan-bilangan itu. Sedangkan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari beberapa bilangan adalah kelipatan persekutuan yang paling kecil.

Contoh 2 : (Cara Mendata)

Tentukan 3 buah kelipatan persekutuan dari 3 dan 5. Selanjutnya tentukan KPK-nya!

Penyelesaian

1. Kelipatan dari 3 adalah 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...
2. Kelipatan dari 5 adalah 5,10,15,20,25,30,35,40,45,...

Dengan demikian,
1. Kelipatan persekutuan dari 3 dan 5 adalah 15, 30, 45
2. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) adalah 15

Contoh 3 : (Cara Faktor Prima)

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 30 dan 25

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa faktor prima dari 30 dan 40 adalah

30 = 2 X 3 X 5
40 = 2³ X 5

Untuk menemukan KPK, digunakan aturan berikut ini :
1. Jika ada angka prima yang sama maka pilihlah angka prima dengan pangkat terbesar
2. Jika ada angka prima yang tak berpasangan maka kalikan saja

Dengan demikian, KPK dari 30 dan 40 adalah 2³ X 3 X 5 = 120.

Contoh 3 : (Cara Alternatif)

KPK adalah perkalian angka pada kolom pembagi. Kotak kosong artinya tidak bisa dibagi habis oleh pembagi.

Jadi, KPK dari 30 dan 40 adalah 2 X 2 X 2 X 3 X 5 = 2³ X 5 = 120

Nah, sekarang kalian pasti sudah memahami konsep KPK. Selanjutnya, mari perhatikan contoh kasus berikut ini.

Pak Kodir adalah pengusaha roti di Yogyakarta. Setiap hari ia mengoprasikan 3 mesin untuk membantu membuat roti. Mesin 1 dapat membuat 24 buah roti. Mesin 2 bisa membuat 32 buah roti. Mesin 3 bisa membuat 40 roti. Ia berencana membuatkan tempat roti dengan ukuran yang sama agar roti dapat didistribusikan secara maksimal. Berapa banyak roti yang dapat ditampung oleh tiap kotak?

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa :

24 = 4 X 6

32 = 4 X 8
40 = 4 X 10

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa 4 adalah faktor persekutuan dari 24, 32, dan 40.

Perhatikan bahwa :
24 = 8 X 3
32 = 8 X 4
40 = 8 X 5

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa 8 juga faktor persekutuan dari 24, 32, dan 40. Dengan demikian, faktor persekutuan terbesar (FPB) adalah 8.

Faktor Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor suatu bilangan adalah hasil kali suatu bilangan asli dengan bilangan asli lainnya yang hasilnya bilangan yang ditentukan. Sebagai contoh, faktor dari 12 adalah 1,2,3,4,6,12

Hasil ini diperoleh dari fakta perhitungan berikut :

1 X 12 = 12
2 X 6 = 12
3 X 4 = 12

Contoh 1 :

Buatlah data faktor dari 16 dan 21

Penyelesaian :

1. Faktor dari 16 adalah 1,2,4,8,16.
2. Faktor dari 21 adalah 1,3,7,21.

Faktor Persekutuan dari beberapa bilangan adalah bilangan faktor bersama dari bilangan-bilangan itu. Sedangkan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari beberapa bilangan adalah faktor persekutuan yang paling besar.

Contoh 2 : (Cara Mendata)

Tentukan faktor persekutuan dan FPB dari 45 dan 60.

Penyelesaian :

1. Faktor dari 45 adalah 1,3,5,9,15,45.
2. Faktor dari 60 adalah 1,2,3,4,5,12,15,20,30,60.

Dengan demikian,

1. Faktor persekutuan dari 45 dan 60 adalah 1,3,5,15.
2. Faktor persekutuan tebesarl (FPB) adalah 15.

Contoh 3 : (Cara Faktor Prima)

Tentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 45 dan 60

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa faktor prima dari 45 dan 60 adalah :

45 = 3² X 5
60 = 2² X 3 X 5

Untuk menemukan FPB, digunakan aturan berikut ini :
1. Jika ada angka prima yang sama maka pilihlah angka prima dengan pangkat terkecil
2. Jika ada angka prima yang tak berpasangan maka abaikan

Dengan demikian, FPB dari 45 dan 60 adalah 3 X 5 = 15

Contoh 3 : (Cara Alternatif)

FPB adalah perkalian angka pada kolom pembagi yang bisa dibagi bersama. Kotak kosong artinya tidak bisa dibagi habis oleh pembagi.

Jadi, FPB dari 45 dan 60 adalah 3 X 5 =15.