Bentuk - Bentuk Faktorisasi Aljabar dan Contoh Soal

Faktorisasi dengan Hukum Distributif

Hukum distributif bentuk aljabar dapat dinyatakan sebagai berikut :
ab + ac = a(b + c)
dengan a, b, dan c sebarangan bilangan nyata.

Bentuk di atas menunjukkan bahwa bentuk penjumlahan suku-suku dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian faktor-faktor jika suku-suku dalam bentuk penjumlahan memiliki faktor yang sama (faktor persekutuan).

Dengan demikian, bentuk ab + ac dengan faktor persekutuan a dapat difaktorkan menjadi
a(b + c) yang terdiri dari dua faktor, yaitu a dan (b + c) .

Faktorisasi (pemfaktoran) adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Selanjutnya, bentuk penjumlahan suku-suku pada bentuk aljabar yang memiliki faktor yang sama (faktor persekutuan) dapat difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif.

Dalam faktorisasi, faktor yang diambil adalah faktor persekutuan terbesar, sehingga suku-suku yang berada di dalam tanda kurung tidak lagi memuat faktor persekutuan.

Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat

Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah dijelaskan bahwa bentuk (x + y)(x - y) dapat dijabarkan sebagai berikut :

Bentuk tersebut dapat juga ditulis sebagai bentuk faktorisasi, yaitu :

Bentuk x² - y² pada ruas kiri disebut selisih dua kuadrat, karena terdiri dari dua suku yang masing-masing merupakan bentuk kuadrat, dan merupakan bentuk pengurangan (selisih). Ruas kanan, yaitu (x + y)(x - y) merupakan bentuk perkalian faktor-faktor.

Berdasarkan hal tersebut, maka rumus faktorisasi selisih dua kuadrat adalah :
x² - y² = (x + y)(x - y)

Faktorisasi ax^2 + bx + c dengan a = 1

Pada bahasan ini, akan kita pelajari tentang faktorisasi bentuk ax² + bx + c dengan a = 1. Mari kita perhatikan bentuk aljabar berikut :

1. x² + 10x - 21 berarti a = 1, b = 10, dan c = -21
2. x² - 12x + 20 berarti a = 1, b = -12, dan c = 20

Pada bentuk ax² + bx + c :
1. a disebut koefisien x²
2. b disebut koefisien x
3. c disebut bilangan konstan

Untuk memahami faktorisasi bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, yang selanjutnya dapat kita tulis dengan x² + bx + c , mari kita perhatikan uraian berikut.

Dari penjabaran tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut :

Ternyata faktorisasi bentuk x² + bx + c dapat dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat-syarat berikut :

1. Bilangan konstan c merupakan hasil perkalian dari pasangan bilangan tersebut
2. Koefisien x , yaitu b merupakan hasil penjumlahan dari pasangan bilangan tersebut.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa faktorisasi bentuk x² + bx + c adalah :

Faktorisasi ax^2 + bx + c dengan a ≠ 1

Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang perkalian suku dua. Apakah kalian masih ingat?

Dari bentuk pada ruas kanan, dapat disimpulkan bahwa untuk memfaktorkan 8x² + 22x + 15(lihat bentuk 2), terlebih dahulu suku 22x diuraikan menjadi dua suku (lihat bentuk 1) dengan aturan sebagai berikut :

1. Jika koefisien kedua suku itu dijumlahkan, maka akan menghasilkan 22
2. Jika koefisien kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil kali koefisien dengan bilangan konstan, yaitu 120

Dengan demikian, pemfaktoran 8x² + 22x + 15 dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

Dari uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan berikut :

Mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1 :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.

1. 4a + 8

2. 9p³ + 15p²

3. 4x²y + 6xy² - 8x²y²

Penyelesaian :

4a + 8
= 4(a) + 4(2)
= 4 (a + 2)

9p³ + 15p²
= 3p³(3) + 3p^3(5p2)
= 3p³(3 + 5p²⁾

4x²y + 6xy² - 8x²y²
= 2xy(2x) + 2xy(3y) - 2xy(4xy)
= 2xy(2x + 3y - 4xy)

Contoh 2 :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini!

1. a² - 49

2. 25x² - 36²

3. 9x⁴ - 4y²

4. 5m² - 5n²

Penyelesaian :

a² - 49
= a² - 7²
= (a + 7)(a - 7)

25x² - 36²
= (5x)² - 6²
= (5x + 6)(5x - 6)

9x⁴ - 4y²
= (3x²)² - (2y)²
= (3x² + 2y)(3x² - 2y)

5m² - 5n²
= 5(m² - n²⁾
=5(m + n)(m - n)

Contoh 3 :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut!

1. x² + 10x + 16

2. x² + 2x - 48

3. 18 + 11y + y²

4. p² - 9pq - 10q²

Penyelesaian :

Contoh 4 :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini!

1. 6x² - 11x + 3

2. 3x² + 5x - 12

3. 12x² - 17xy - 5y²

Penyelesaian :